【题目】如图,CA,CB分别与圆O切于A,B两点,AE是直径,OF平分∠BOE交CB的延长线于F,BD∥AC.
(1)证明:OB2=BCBF;
(2)证明:∠DBF=∠AOB.
【答案】
(1)证明:连接OC,由CA,CB为切线,可得CA=CB,
OA=OB,OC=OC,
即有△OAC≌△OBC,
即有∠AOC=∠BOC,
又OF平分∠BOE交CB的延长线于F,
可得∠EOF=∠BOF,
则∠FOC=∠FOB+∠BOC=∠EOF+∠AOC=90°,
在直角三角形COF中,OB为斜边CF上的高,
由射影定理,可得OB2=BCBF
(2)证明:由∠CAO=∠CBO=90°,可得
四点C,A,O,B共圆,延长AC至M,
即有∠MCB=∠AOB,
由BD∥AC,可得∠DBF=∠MCB,
即有∠DBF=∠AOB
【解析】(1)连接OC,运用切线的性质,可得△OAC≌△OBC,结合内角平分线的定义,可得∠FOC=90°,由直角三角形的射影定理,即可得证;(2)由对角互补,可得四点C,A,O,B共圆,延长AC至M,运用两直线平行的性质,即可得证.
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【题目】在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,cos2C+2 cosC+2=0.
(1)求角C的大小;
(2)若b= a,△ABC的面积为
sinAsinB,求sinA及c的值.
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【题目】设函数 .
(1)用含a的式子表示b;
(2)令F(x)= ,其图象上任意一点P(x0 , y0)处切线的斜率
恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若a=2,试求f(x)在区间 上的最大值.
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【题目】甲乙两人各有相同的小球10个,在每人的10个小球中都有5个标有数字1,3个标有数字2,2个标有数字3。两人同时分别从自己的小球中任意抽取1个,规定:若抽取的两个小球上的数字相同,则甲获胜,否则乙获胜,求乙获胜的概率。
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【题目】从某山区养殖场散养的3500头猪中随机抽取5头,测量猪的体长x(cm)和体重y(kg),得如下测量数据:
猪编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
x | 169 | 181 | 166 | 185 | 180 |
y | 95 | 100 | 97 | 103 | 101 |
(1)当且仅当x,y满足:x≥180且y≥100时,该猪为优等品,用上述样本数据估计山区养殖场散养的3500头猪中优等品的数量;
(2)从抽取的上述5头猪中,随机抽取2头中优等品数x的分布列及其数学期望.
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【题目】设函数fn(x)=﹣xn+3ax(a∈R,n∈N+),若对任意的x1 , x2∈[﹣1,1],都有|f3(x1)﹣f3(x2)|≤1,则a的取值范围是( )
A.[ ,
]
B.[ ,
]
C.[ ,
]
D.[ ,
]
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【题目】已知双曲线方程为,问:是否存在过点M(1,1)的直线l,使得直线与双曲线交于P,Q两点,且M是线段PQ的中点?如果存在,求出直线的方程,如果不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)= (a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解,则a的取值范围是( )
A.(0, ]
B.[ ,
]
C.[ ,
]∪{
}
D.[ ,
)∪{
}
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