Question

一个圆柱体的体积为128π，当高为多少，圆柱体表面积最小？

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：由已知得r=

128 h

，从而圆柱体表面积：S=2πr²+2πrh=2π(

128

h

+4

2h

+4

2h

)，由此利用均值定理能求出当高为8时，圆柱体表面积最小．

解答： 解：∵V=πr²h=128π，
∴r²h=128，∴r²=

128

h

，r=

128 h

，
∴圆柱体表面积：
S=2πr²+2πrh
=2π×

128

h

+2πh•

128 h

=2π(

128

h

+

128h

)
=2π(

128

h

+8

2h

)
=2π(

128

h

+4

2h

+4

2h

)
≥2π×3

3	128 h ×4 2h ×4 2h

=384π，
当且仅当

128

h

=4

2h

，即h=8时，等式成立，
∴当高为8时，圆柱体表面积最小．

点评：本题考查当高为多少时，圆柱体表面积最小的求法，则中档题，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．