Question

如图，在直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（4，3），⊙A的半径为2，过点A作平行于x轴的直线l，点P在l上运动．
（1）当点P在⊙A上时，写出点P的坐标
（2）当点P的横坐标为12，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）当P在A的左边且P在圆上时，BP=AB-AP=4-2=2，P的纵坐标与A的纵坐标相等；当P在A的右边且P在圆上时，BP=AB+AP=3+2=5，P的纵坐标与A的纵坐标相等．由此能求出所有满足题意的P的坐标．
（2）作AD⊥OP于D，得∠ADP=90°，△PAD∽△POB，由此能求出直线OP与⊙A相交．

解答： 解：（1）当P在A的左边且P在圆上时，
BP=AB-AP=4-2=2，即为P的横坐标，
再由P的纵坐标与A的纵坐标相等，都为OB的长，
确定出此时P的坐标P（2，3）；
当P在A的右边且P在圆上时，
BP=AB+AP=3+2=5，即为P的横坐标，
再由P的纵坐标与A的纵坐标相等，都为OB的长，
确定出此时P的坐标P（5，3），
综上，得到所有满足题意的P的坐标为（2，3）或（5，3）．
（2）直线OP与⊙A相交．
理由如下：
作AD⊥OP于D，如图所示：
可得∠ADP=90°，
又∠PBO=90°，
∴∠ADP=∠PBO，又∠APD=∠OPB，
∴△PAD∽△POB，…（3分）
又PA=PB-AB=12-4=8，OB=3，
在直角三角形OBP中，OB=3，BP=12，
根据勾股定理得：OP=

9+144

=

153

，
∴

PA

OP

=

AD

OB

，∴AD=

PA×OB

OP

=

8×3

153

=

24

153

≈1.94＜2=r，
∴直线OP与⊙A相交．

点评：本题考查点的坐标的求法，考查直线与圆的位置关系的判断，是中档题，解题要注意圆的性质的合理运用．