已知函数f(x)=x2sinx.各项均不相等的有限项数列{xn}的各项xi满足|xi|．令F(n)=ni=1xi•ni1f(xi).n≥3且n∈N.例如:F(3)=(x1+x2+x3)(f(x1)+f(x2)+f(x3))．(Ⅰ)若an=f(n2π).{an}前n项和为Sn.求S19的值,(Ⅱ)试判断下列给出的三个命题的真假.并说明理由．①存在数列{xn}使� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知函数f（x）=x²sinx，各项均不相等的有限项数列{x_n}的各项x_i满足|x_i|．令F（n）=

i=1

xi•

f（x_i），n≥3且n∈N，例如：F（3）=（x₁+x₂+x₃）（f（x₁）+f（x₂）+f（x₃））．
（Ⅰ）若an=f（

π），{a_n}前n项和为S_n，求S₁₉的值；
（Ⅱ）试判断下列给出的三个命题的真假，并说明理由．
①存在数列{xn}使得F（n）=0；
②如果数列{x_n}是等差数列，则F（n）＞0；
③如果数列{xn}是等比数列，则F（n）＞0．

考点：数列的应用

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由a_n=f（

π）=（

π）²sin（

π），利用分组求和吧，可得a_4k-3+a_4k-2+a_4k-1+a_4k=（2-4k）π²，（k∈N₊），再由S₁₉=S₂₀得到答案．
（II）由题意，f（x）=x²sinx是奇函数，只需考查0＜x≤1时的性质，此时y=x²，y=sinx都是增函数，得f（x）=x²sinx在[0，1]上是增函数；即f（x）=x²sinx在[-1，1]上是增函数．
x₁+x₂＜0时，得f（x₁）+f（x₂）＜0，x₁+x₂＞0时，得f（x₁）+f（x₂）＞0；即x₁+x₂≠0时，（x₁+x₂）（f（x₁）+f（x₂））＞0；
判定①是正确的，如{x_n}满足x₁+x₂+…+x_n=0时；
②是错误的，如x₁+x₂+…+x_n=0时，F（n）=0；
③是正确的，如数列{x_n}是等比数列，各项符号一致的情况显然符合；各项符号不一致时，公比q＜0，讨论n是偶数，n是奇数时，都有F（n）＞0．

解答： 解：（I）∵a_n=f（

π）=（

π）²sin（

π），
∴a_4k-3+a_4k-2+a_4k-1+a_4k=（2-4k）π²，（k∈N₊），
∴S₁₉=S₂₀=-（2+6+10+14+18）π²=-50π²，
（II）由题意，得f（x）=x²sinx是奇函数，
当0＜x≤1时，y=x²，y=sinx都是增函数，
∴f（x）=x²sinx在[0，1]上递增，
∴f（x）=x²sinx在[-1，1]上是增函数；
若x₁+x₂＜0，则x₁＜-x₂，
∴f（x₁）＜f（-x₂），
即f（x₁）＜-f（x₂），
∴f（x₁）+f（x₂）＜0；
同理若x₁+x₂＞0，可得f（x₁）+f（x₂）＞0；
∴x₁+x₂≠0时，（x₁+x₂）（f（x₁）+f（x₂））＞0．
对于①，显然是正确的，如{x_n}满足x₁+x₂+…+x_n=0时；
对于②，显然是错误的，如x₁+x₂+…+x_n=0，F（n）=0时；
对于③，是正确的，当数列{x_n}是等比数列，且各项符号一致的情况时显然符合题意；
若各项符号不一致，则公比q＜0，
若n是偶数，（x_2i-1+x_2i）=x₁q^2i-2（1+q），i=1，2，…，

符号一致，
又（x_2i-1+x_2i），[f（x_2i-1）+f（x_2i）]符号一致，
∴符合F（n）＞0；
若n是奇数，可证明“（x_2i-1+x_2i）=x₁q^2i-2（1+q），i=1，2，…，

n-1

和xn=x1qn-1符号一致”，
或者“（x_2i-1+x_2i）=x₁q^2i-2（1+q），i=1，2，…，

n-1

和x₁符号一致”，
同理可证符合F（n）＞0；
综上，正确的命题是①③．

点评：本题通过命题真假的判定，考查了新定义的函数的性质以及应用问题，函数的单调性与奇偶性问题，等差与等比数列的性质与应用问题，是综合题．

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