Question

已知函数f（x）=3x²-2（k²-k+1）x+5，g（x）=2k²x+k，其中k∈R．
（1）设函数p（x）=f（x）+g（x）．若p（x）在（0，3）上有零点，求k的取值范围；
（2）设函数q（x）=

g(x)，x≥0 f(x)，x＜0

是否存在k，对任意给定的非零实数x₁，存在惟一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得q（x₂）=q（x₁）？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意知p（x）=f（x）+g（x）=3x²+2（k-1）x+k+5在（0，3）上有零点．再由p（x）在（0，3）上有唯一零点和p（x）在（0，3）上有2个零点，进行分类讨论，由此能够求出实数k的取值范围．
（2）根据q（x）=

2k2x+k，x≥0 3x2-2(k2-k+1)x+5，x＜0

，知k≠0．再由当x₂≥0时，q（x）在（0，+∞）上是增函数，得到k≥5；当x₂＜0时，q（x）在（-∞，0）上是减函数，得到k≤5，由此能求出k的值．

解答：解：（1）∵f（x）=3x²-2（k²-k+1）x+5，g（x）=2k²x+k，p（x）在（0，3）上有零点，
∴p（x）=f（x）+g（x）=3x²+2（k-1）x+k+5在（0，3）上有零点．
∴△=（4k²-8k+4）-12k-60≥0，解得 k≤-2，或 k≥7．
若p（x）在（0，3）上有唯一零点，则 p（0）p（3）=（k+5）（7k+26）＜0 ①，
或

△＞0 P(0)=0 P(3)＞0

 ②，或

△＞0 P(0)＞0 P(3)=0

③，或

P(0)＞0 P(3)＞0 △=0

 ④．
解①得-

26

7

＜k＜-5，解②得k∈∅，解③得k=-

26

7

，解④可得 k=-2，或k=7．
若p（x）在（0，3）上有2个零点，则有

△＞0 p(0)＞0 P(3)＞0 0＜ 1-k 3 ＜3

，解得-

26

7

＜k≤-2．
综上所述，实数k的取值范围为[-

26

7

，-2]∪{7}．
（2）函数q（x）=

g(x)，x≥0 f(x)，x＜0

，
即q（x）=

2k2x+k，x≥0 3x2-2(k2-k+1)x+5，x＜0

．
显然，k=0不满足条件，故k≠0．
当x≥0时，q（x）=2k²x+k∈[k，+∞）．
当x＜0时，q（x）=3x²-2（k²-k+1）x+5∈（5，+∞）．
记A=[k，+∞），B∈（15，+∞）．
①当x₂＞0时，q（x）在（0，+∞）上是增函数，
要使q（x₂）=q（x₁），则x₁＜0，且A⊆B，故k≥5；
②当x₂＜0时，q（x）在（-∞，0）上是减函数，
要使q（x₂）=q（x₁），则x₁＞0，且B⊆A，故k≤5；
综上可得，k=5满足条件．
故存在k=5，对任意给定的非零实数x₁，存在惟一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得q（x₂）=q（x₁）．

点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，函数的单调性的应用，体现了化归与转化、以及分类讨论的数学思想，属于难题．