Question

已知函数f(x)＝ax²－(a＋2)x＋ln x.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)当a>0时，若f(x)在区间[1，e]上的最小值为－2，求a的取值范围；
(3)若对任意x₁，x₂∈(0，＋∞)，x₁<x₂，且f(x₁)＋2x₁<f(x₂)＋2x₂恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）y＝－2.
（2）[1，＋∞)
（3）[0,8]

(1)当a＝1时，f(x)＝x²－3x＋ln x，f′(x)＝2x－3＋.
因为f′(1)＝0，f(1)＝－2.
所以切线方程是y＝－2.
(2)函数f(x)＝ax²－(a＋2)x＋ln x的定义域是(0，＋∞)．
当a>0时，f′(x)＝2ax－(a＋2)＋＝ (x>0)，
令f′(x)＝0，即f′(x)＝
＝＝0，
所以x＝或x＝.
当0<≤1，即a≥1时，f(x)在[1，e]上单调递增，
所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(1)＝－2；
当1<<e时，f(x)在[1，e]上的最小值是f<f(1)＝－2，不合题意；
当≥e时，f(x)在(1，e)上单调递减，
所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(e)<f(1)＝－2，不合题意．
综上a的取值范围是[1，＋∞)．
(3)设g(x)＝f(x)＋2x，则g(x)＝ax²－ax＋ln x，
只要g(x)在(0，＋∞)上单调递增即可．
而g′(x)＝2ax－a＋＝，
当a＝0时，g′(x)＝>0，此时g(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a≠0时，只需g′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，因为x∈(0，＋∞)，只要2ax²－ax＋1≥0，则需要a>0，
对于函数y＝2ax²－ax＋1，过定点(0,1)，对称轴x＝>0，只需Δ＝a²－8a≤0，
即0<a≤8.
综上a的取值范围是[0,8]．