Question

已知函数。
（1）求函数在区间上的值域；
（2）是否存在实数a，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）；（2）不存在.

试题分析：（1）∵，因此可以得到在是单调递增的，从而可以得到在的值域为；（2）根据题意以及（1）中所求，问题等价于对任意的，
在上总有两个不同的实根，因此在不可能是单调函数，通过求得首先可以预判的大致的取值范围为，再由此范围下的单调性可以得到在的极值，从而可以建立关于的不等式，进而求得的取值范围.
（1）∵在区间上单调递增，在区间上单调递减，且的值域为  6分；
（2）令，则由（1）可得，原问题等价于：对任意的，
在上总有两个不同的实根，故在不可能是单调函数  7分
，其中，
①当时，在区间上单调递减，不合题意  8分，
②当时，在区间上单调递增，不合题意  10分，
③当，即时，在区间上单调递减；在区间上单调递增，
由上可得，此时必有且  12分
而上可得，则，
综上，满足条件的a不存在  14分．