Question

【题目】设函数.

（1）若在区间上存在极值，求实数的取值范围；

（2）①设，求的最小值；

②定义：对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“隔离直线”.设，试探究与是否存在“隔离直线”？若存在，求出“隔离直线”的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①0；②存在，

【解析】

（1）先求导，.再分① ，， 三种情况分类讨论.

（2）①由，再求导.，分， 求解最小值；②由①知与的图象在处有公共点.设与存在“隔离直线”，方程为，即，再论证在上恒成立， 恒成立即可.

（1）.

①当时，，在区间上递增，不存在极值；

②当时，，在区间上递减，不存在极值；

③当时，得在区间上单调递减，在区间上单调递增，

在处取得极小值.

综上，实数的取值范围是.

（2）①，

则.

所以当时，；当时，.

因此时，取得最小值0；

②由①知与的图象在处有公共点.

设与存在“隔离直线”，方程为，即，

由在上恒成立，则在上恒成立.

所以成立，

因此.

下面证明恒成立.

设，则.

所以当时，；当时，.

因此时取得最大值，则恒成立.

故所求“隔离直线”方程为：.