Question

设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内．
（此题不要求在答题卡上画图）
 

Answer 1

（I）依题意得解得 从而b=,………………………………………3分
故椭圆方程为．……………………………………………………………………4分
（II）解法1：由（I）得A（-2，0），B（2，0），设．
点在椭圆上，．………………………………………………………        5分
又点异于顶点
由三点共线可得，…………………………………………………………………6分
从而．……………………………………………………………7分
，………………………………………………10分
将①式代入②式化简得．…………………………………………………………12分
>0,>0.于是为锐角,从而为钝角,
故点在以为直径的圆内.………………………………………………………………………. 14分
解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设P（4，）（0），M（，），N（，），则直线AP的方程为，直线BP的方程为．…………………………….. 6分
点M、N分别在直线AP、BP上，
＝（＋2），＝（－2）.从而＝（＋2）（－2）.③
联立消去y得（27＋）＋4x＋4（－27）＝0………………8分
，－2是方程得两根，（－2）．，即＝. ④
又．=（－2, ）．(－2,)＝（－2）（－2）＋.  ⑤………9分
于是由③、④式代入⑤式化简可得
．＝（－2）…………………………………………………………     12分
N点在椭圆上，且异于顶点A、B，<0.
又，> 0, 从而．<0.
故为钝角，即点B在以MN为直径的圆内………………………………14分
解法3：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（，），N（，），则－2<<2 , －2<<2.又MN的中点Q的坐标为（），………………………………………5分

化简得－＝（－2）（－2）＋.            ⑥………………8分
直线AP的方程为，直线BP的方程为………………10分
点P在准线x＝4上，
，即.                      ⑦
又M点在椭圆上，＋＝1，即         ⑧……… 12分
于是将⑦、⑧式化简可得－＝.
从而B在以MN为直径的圆内…………………………………………………………………      14分