Question

已知两定点F₁(-,0),F₂(,0)满足条件||-||=2的点P的轨迹是曲线C,直线y=kx-2与曲线C交于A、B两点,且||=.

(1)求曲线C的方程;

(2)若曲线C上存在一点D,使+=m,求m的值及点D的坐标.

Answer 1

解:(1)由双曲线的定义可知曲线C是以F₁(-,0),F₂(,0)为焦点的双曲线的左半支.

且c=,2a=2,a=1,故b=1,所以轨迹C的方程是x²-y²=1(x＜0).

(2)设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),由题意得方程组消去y得(1-k²)x²+4kx-5=0.

又已知直线与曲线C交于A、B两点,

故有解得-＜k＜-1.

∵|AB|=|x₂-x₁|=·=2=,

∴=.设t=k²,得7t²-23t-20=0,(t-4)(7t+5)=0.∴t=4,t=(舍).

又由k²=4,舍去k=2,得k=-2,于是直线AB的方程为y=-2x-2,即2x+y+2=0.

由解得

不妨设=(-1,0),=(,),由+=m,故有=(,).

将D点坐标代入曲线C的方程,得=1.解得m=±,但当m=时,

点D在双曲线右支上,不合题意,∴m=.

∴点D的坐标为(,).