Question

【题目】已知长方形ABCD如图1中，AD= ，AB=2，E为AB中点，将△ADE沿DE折起到△PDE，所得四棱锥P﹣BCDE如图2所示．

（Ⅰ）若点M为PC中点，求证：BM∥平面PDE；
（Ⅱ）当平面PDE⊥平面BCDE时，求三棱锥E﹣PCD的体积．

Answer 1

【答案】解：证明：（Ⅰ）取DP中点F，连结EF、FM，
∵△PDC中，点F、M分别是DP、PC的中点，
∴FM DC，又EB DC，
∴FM EB，∴FEBM是平行四边形，∴BM∥EF，
又EF平面PDE，BM平面PDE，
∴BM∥平面PDE．
（Ⅱ）解：∵平面PDE⊥平面EBCD，且平面PDE∩平面EBCD=DE，
过P作PH⊥DE于H，∴PH⊥平面EBCD，
在Rt△PDE中，过P作PH⊥DE于H，∴PH⊥平面EBCD，
在Rt△PDE中，由题意得PH= ，
在Rt△DEC中，DE= =2，且DE=EC=2，
∴ = ，
∴三棱锥E﹣PCD的体积VE﹣PCD=VP﹣DEC= = = ．

【解析】（Ⅰ）取DP中点F，连结EF、FM，推导出FEBM是平行四边形，从而BM∥EF，由此能证明BM∥平面PDE．（Ⅱ）过P作PH⊥DE于H，则PH⊥平面EBCD，三棱锥E﹣PCD的体积VE﹣PCD=VP﹣DEC ， 由此能求出结果．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面平行的判定，需要了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能得出正确答案．