Question

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$\frac{a}{cosA}$=$\frac{{\sqrt{3}b}}{sinB}$．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若a=3，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知：$\frac{a}{cosA}=\frac{{\sqrt{3}b}}{sinB}$，根据正弦定理可得：$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{\sqrt{3}sinB}{sinB}$=$\sqrt{3}$，化简即可得出．
（2）利用正弦定理、和差化积、三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）由已知：$\frac{a}{cosA}=\frac{{\sqrt{3}b}}{sinB}$，根据正弦定理可得：$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{\sqrt{3}sinB}{sinB}$=$\sqrt{3}$，
从而有：$sinA=\sqrt{3}cosA，tanA=\sqrt{3}$，
∵0＜A＜π，∴$A=\frac{π}{3}$．
（2）由正弦定理得：$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=2\sqrt{3}$，
∴$b=2\sqrt{3}sinB，c=2\sqrt{3}sinC$$b+c=2\sqrt{3}sinB+2\sqrt{3}sinC=2\sqrt{3}[{sinB+sin（\frac{2π}{3}-B）}]=6sin（B+\frac{π}{6}）$，
∵$\frac{π}{6}＜B+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，∴$3＜6sin（B+\frac{π}{6}）≤6$．
∴当B=$\frac{π}{3}$时，b+c的最大值为6，△ABC的周长的最大值是9．

点评 本题考查了正弦定理、和差化积、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．