Question

12．证明下列恒等式：
（1）tanθ•$\frac{1-sinθ}{1+cosθ}$=cotθ•$\frac{1-cosθ}{1+sinθ}$；
（2）$\frac{1+ta{n}^{4}α}{ta{n}^{2}α+co{t}^{2}α}$=tan²α；
（3）$\frac{1+cscα+cotα}{1+cscα-cotα}$=cscα+cotα

Answer 1

分析 先把正割函数和余切函数化为正弦函数和余弦函数，继而证明．

解答 证明：（1）tanθ•$\frac{1-sinθ}{1+cosθ}$=$\frac{sinθ}{cosθ}$•$\frac{1-sinθ}{1+cosθ}$=$\frac{sinθ-si{n}^{2}θ}{cosθ+co{s}^{2}θ}$，
cotθ•$\frac{1-cosθ}{1+sinθ}$=$\frac{cosθ-co{s}^{2}θ}{sinθ+si{n}^{2}θ}$，
（sinθ-sin²θ）（sinθ+sin²θ）=sin²θ-sin⁴θ=sin²θcos²θ，
（cosθ+cos²θ）（cosθ-cos²θ）=cos²θ-cos⁴θ=sin²θcos²θ，
$\frac{sinθ-si{n}^{2}θ}{cosθ+co{s}^{2}θ}$═$\frac{cosθ-co{s}^{2}θ}{sinθ+si{n}^{2}θ}$，
tanθ•$\frac{1-sinθ}{1+cosθ}$=cotθ•$\frac{1-cosθ}{1+sinθ}$；

（2）$\frac{1+ta{n}^{4}α}{ta{n}^{2}α+co{t}^{2}α}$=$\frac{1+ta{n}^{4}α}{ta{n}^{2}α+\frac{1}{ta{n}^{2}α}}$=tan²α=右边；
（3）$\frac{1+cscα+cotα}{1+cscα-cotα}$=$\frac{1+\frac{1}{sinα}+\frac{cosα}{sinα}}{1+\frac{1}{sinα}-\frac{cosα}{sinα}}$=$\frac{sinα+cosα+1}{sinα-cosα+1}$，
cscα+cotα=$\frac{1+cosα}{sinα}$，（sinα+1+cosα）sinα=sin²α+sinα+sinαcosα，
（sinα+1-cosα）•（1+cosα）=sinα+sinαcosα+1=sin²α+sinα+sinαcosα，
∴（sinα+1+cosα）sinα=（sinα+1-cosα）（1+cosα），
$\frac{sinα+cosα+1}{sinα-cosα+1}$=$\frac{1+cosα}{sinα}$，
$\frac{1+cscα+cotα}{1+cscα-cotα}$=cscα+cotα．

点评 本题考查同角三角函数间的基本关系，弦切互化，是中档题．