Question

2．已知矩形ABCD的边AB长为2，边AD长为$\sqrt{3}$，点E是AB边上的动点，则 $\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DC}$ 的最大值为4．

Answer 1

分析 由题意画出图形，分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，设出E的坐标（x，0）（0≤x≤2），把 $\overrightarrow{DE}$、$\overrightarrow{DC}$ 的坐标用含有x的代数式表示，结合x的范围求得$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DC}$ 的最大值．

解答 解：如图，
分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
∵AB=2，AD=$\sqrt{3}$，
∴D（0，$\sqrt{3}$），C（2，$\sqrt{3}$），
设E（x，0）（0≤x≤2），
∴$\overrightarrow{DC}=（2，0）$，$\overrightarrow{DE}=（x，-\sqrt{3}）$，
则$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{DC}$=2x，
则当x=2时，$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DC}$ 有最大值为4．
故答案为：4．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了数量积的坐标表示，建立平面直角坐标系起到事半功倍的效果，是中档题．