Question

7．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积（m²）与时间t（月）的关系：f（t）=a^t，有以下叙述：
①这个指数函数的底数是2；
②浮萍每个月增长的面积都相等；
③浮萍从4m²蔓延到12m²需要经过1.5个月；
④对浮萍蔓延到的任意两个时间点t₁，t₂，都有$\frac{{f（{t_1}）-f（{t_2}）}}{{{t_1}-{t_2}}}＞0$成立；
⑤若浮萍蔓延到2m²、3m²、6m²所经过的时间分别为t₁、t₂、t₃，则t₁+t₂=t₃．
其中正确的是（

• A． ①③④
• B． ①③④⑤
• C． ①④⑤
• D． ②③⑤

Answer 1

分析 根据函数的图象与性质，结合图形确定函数的解析式，结合所给月份计算函数值从而获得相应浮萍的面积进而对问题作出判断，对于⑤要充分结合对数运算的运算法则进行计算验证．

解答 解：对于①，根据函数的图象知，点（1，2）在函数图象上，
∴2=a¹，∴a=2，函数为f（x）=2^x，底数是2，①正确；
对于②，根据函数f（t）=2^t的图象知，1-2月增加_²m²，2-3月增加4m²，每个月增长的面积不相等，②错误；
对于③，4对应的t=2，经过1.5月后面积是2^3.5=$\sqrt{{2}^{7}}$=$\sqrt{128}$＜12，故③错误；
对于④，函数y=f（t）=2^t在R上是增函数，∴y′=f′（x）＞0，∴对任意t₁，t₂，都有$\frac{{f（{t_1}）-f（{t_2}）}}{{{t_1}-{t_2}}}＞0$成立，故④正确；
对于⑤，令2=${2}^{{x}_{1}}$，3=${2}^{{x}_{2}}$，6=${2}^{{x}_{3}}$，
解得x₁=1，x₂=log₂³，x₃=log₂⁶，
又∵1+log₂³=log₂²+log₂³=log₂^2×3=log₂⁶，
∴x₁+x₂=x₃成立，⑤正确．
故答案为：①④⑤．

点评 本题考查了函数模型的选择和应用以及数形结合法的应用问题，解题时应充分观察图形、分析图形和利用图形，也应灵活应用对数运算的性质，是综合性题目．