Question

(本小题满分16分)已知数列是以为公差的等差数列，数列是以为公比的等比数列．（Ⅰ）若数列的前项和为,且,,求整数的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试问数列中是否存在一项，使得恰好可以表示为该数列中连续项的和？请说明理由；（Ⅲ）若（其中，且（）是（）的约数），求证：数列中每一项都是数列中的项.

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ) 不存在 （Ⅲ）见解析

（Ⅰ）由题意知，，所以由，
得……3分
解得，又为整数，所以………………………………………………………5分
（Ⅱ）假设数列中存在一项，满足，
因为，∴（*）…………8分
又
=，所以，此与（*）式矛盾. 所以，这要的项不存在……11分
（Ⅲ）由，得，则 ………………12分
又，
从而，因为，所以，又，
故. 又,且（）是（）的约数,所以是整数,且………14分
对于数列中任一项（这里只要讨论的情形），有

，
由于是正整数，所以一定是数列的项……………16分