Question

16．在三角形ABC中，∠B=$\frac{π}{3}$，AB=1，BC=2，点D在边AC上，且$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AC}$，λ∈R．若$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{BC}$=2，则λ=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 利用向量的加减法法则及平面向量基本定理把$\overrightarrow{BD}$用$\overrightarrow{BA}$和$\overrightarrow{BC}$表示，然后结合$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{BC}$=2列式求得λ值．

解答 解：如图，

∵$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BA}+λ\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}+$$λ（\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}）$=$（1-λ）\overrightarrow{BA}+λ\overrightarrow{BC}$，
且∠B=$\frac{π}{3}$，AB=1，BC=2，
∴$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{BC}$=[（1-λ）$\overrightarrow{BA}$+λ$\overrightarrow{BC}$]•$\overrightarrow{BC}$=（1-λ）$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$+$λ{\overrightarrow{BC}}^{2}$
=（1-λ）$|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|cos60°$+$λ|\overrightarrow{BC}{|}^{2}$
=1×$2×\frac{1}{2}$（1-λ）+4λ=2，
解得λ=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积间的关系，训练了平面向量基本定理的应用，是中档题．