Question

1．如图，所有棱长都为2的直四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，B′D′中点为E′．
（1）求证：AE′∥平面BC′D；
（2）若∠BCD=60°，求二面角A-BC′-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结AC，交BD于E，由ABCD四边相等知E为AC中点，连结A′C′，推导出四边形ACC′A′为平行四边形，连结C′E，则四边形AEC′E′是平行四边形，从而AE′∥C′E，由此能证明AE′∥平面BC′D．
（2）设BD中点为E，以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，EE′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BC′-D的余弦值．

解答 证明：（1）连结AC，交BD于E，由ABCD四边相等知E为AC中点，连结A′C′，由A′B′C′D′四边相等知A′C′与B′D′交于点E′，
又在棱柱ABCD-A′B′C′D′中，AA′∥CC′，AA′=CC′，
∴四边形ACC′A′为平行四边形，∴AC∥A′C′，AC=A′C′，
∴C′E′=AE，C′E′∥AE，
连结C′E，则四边形AEC′E′是平行四边形，∴AE′∥C′E，
∵AE′?平面BC′D，C′E?平面BC′D，
∴AE′∥平面BC′D．
解：（2）设BD中点为E，
∵∠BCD=60°，ABCD四边长都为2，
∴AC⊥BD，EA=EC=$\sqrt{3}$，EB=ED=1，
∵四棱柱是直四棱柱，
∴以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，EE′为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），C（-$\sqrt{3}$，0，0），D（0，-1，0），C′（-$\sqrt{3}$，0，2），
∴$\overrightarrow{B{C}^{'}}$=（-$\sqrt{3}$，-1，2），$\overrightarrow{AB}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{BD}$=（0，-2，0），
设平面ABC′的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=-\sqrt{3}x+y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{C}^{'}}=-\sqrt{3}x-y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
同理求出平面BC′D的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（2，0，$\sqrt{3}$），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2+3}{\sqrt{7}•\sqrt{7}}$=$\frac{5}{7}$．
∴二面角A-BC′-D的余弦值为$\frac{5}{7}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．