Question

6．已知函数f（x）=-x²+mx-1（m∈R）．
（1）试求f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，1]上的最大值；
（2）若函数|f（x）|在区间（$\frac{1}{2}$，+∞）上单调递增，试求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）配方后写出二次函数的对称轴方程，然后分类讨论函数的单调性，从而求得最值；
（2）f（x）=-x²+mx-1=$-（x-\frac{m}{2}）^{2}+\frac{{m}^{2}}{4}-1$，其对称轴方程为x=$\frac{m}{2}$，是开口向下的抛物线，分$\frac{{m}^{2}}{4}-1≤0$和$\frac{{m}^{2}}{4}-1＞0$两种情况分别求出函数|f（x）|的一个增区间，然后利用函数|f（x）|在区间（$\frac{1}{2}$，+∞）上单调递增列式求得m的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=-x²+mx-1=$-（x-\frac{m}{2}）^{2}+\frac{{m}^{2}}{4}-1$，
当$\frac{m}{2}≤\frac{1}{2}$，即m≤1时，f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上单调递减，$f（x）_{max}=f（\frac{1}{2}）=\frac{m}{2}-\frac{5}{4}$；
当$\frac{1}{2}＜\frac{m}{2}＜1$，即1＜m＜2时，$f（x）_{max}=f（\frac{m}{2}）=\frac{{m}^{2}}{4}-1$；
当$\frac{m}{2}≥1$，即m≥2时，f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上单调递增，f（x）_max=f（1）=m-2．
∴$f（x）_{max}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{m}{2}-\frac{5}{4}，m≤1}\\{\frac{{m}^{2}}{4}-1，1＜m＜2}\\{m-2，m≥2}\end{array}\right.$；
（2）f（x）=-x²+mx-1=$-（x-\frac{m}{2}）^{2}+\frac{{m}^{2}}{4}-1$，
其对称轴方程为x=$\frac{m}{2}$，是开口向下的抛物线，
当$\frac{{m}^{2}}{4}-1≤0$，即-2≤m≤2时，
|f（x）|=$（x-\frac{m}{2}）^{2}+1-\frac{{m}^{2}}{4}$，|f（x）|的单调递增区间为[$\frac{m}{2}$，+∞），
∴$\frac{m}{2}≤\frac{1}{2}$，得m≤1，
∴-2≤m≤1；
当$\frac{{m}^{2}}{4}-1＞0$，即m＜-2或m＞2时，
f（x）有两个零点x₁，x₂，
设x₁＜$\frac{m}{2}$＜x₂，将f（x）的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折得|f（x）|的图象，
那么|f（x）|的一个递增区间为[x₂，+∞），
若|f（x）|在区间（$\frac{1}{2}$，+∞）上单调递增，
则需$\left\{\begin{array}{l}{f（\frac{1}{2}）=\frac{m}{2}-\frac{5}{4}≤0}\\{\frac{m}{2}＜\frac{1}{2}}\\{m＜-2或m＞2}\end{array}\right.$，解得m＜-2．
综上，m的取值范围为（-∞，1]．

点评 本题考查二次函数的性质，考查分类讨论的数学思想方法，属中档题．