Question

15．已知不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y+6≥0}\\{x+y≥0}\\{x≤3}\end{array}\right.$．
（1）求此不等式组表示的平面区域的面积；
（2）求z₁=2x-3y的最大值；
（3）求${z_2}=\frac{y+3}{x+1}$的取值范围．

Answer 1

分析 作出可行域，求出角点坐标，（1）直接求解三角形的面积．
（2）利用的几何意义，求解最大值；
（3）利用目标函数的几何意义：可行域内的点与（-1，-3）连线的斜率，求解最值即可．

解答 解：作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y+6≥0}\\{x+y≥0}\\{x≤3}\end{array}\right.$平面区域如图．
交点A（-3，3）、B（3、9）、C（3，-3），
（1）S_△ABC=$\frac{1}{2}$[9-（-3）]×[3-（-3）]=36．
（2）z₁=2x-3y化为：y=$\frac{2}{3}$x-$\frac{1}{3}$z₁，平移直线，可知直线经过C时，目标函数取得最大值：z₁=2x-3y=2×3+3×3=15．
（3）目标函数的几何意义：可行域内的点与Q（-1，-3）连线的斜率，如图，斜率${z_2}=\frac{y+3}{x+1}$≤k_AQ=$\frac{3+3}{-3+1}$=-3，或${z_2}=\frac{y+3}{x+1}$≥k_QC=$\frac{-3+3}{3+1}$=0，
故${z_2}=\frac{y+3}{x+1}$∈（-∞，-3]∪[0，+∞）．

点评 本题考查线性规划的简单应用，画出可行域以及判断的几何意义是解题的关键．