Question

14．（1）已知f（x）是偶函数，x≥0时，f（x）=-2x²+4x，求x＜0时f（x）的解析式．
（2）已知函数f（x）=x²+3x-5，x∈[t，t+1]，若f（x）的最小值为h（t），写出h（t）的表达式．

Answer 1

分析 （1）利用函数的奇偶性，整合求解函数的解析式即可．
（2）求出函数的对称轴，通过①当t≤-$\frac{5}{2}$时；②当t＞-$\frac{3}{2}$时；③当t≤-$\frac{3}{2}$＜t+1，分别求解函数的最小值即可．

解答 （1）解：当x＜0时，-x＞0，又由于f（x）是偶函数，则f（x）=f（-x），
所以，当x＜0时，f（x）=f（-x）=-2（-x）²+4（-x）=-2x²-4x．
（2）解：$f（x）={（x+\frac{3}{2}）^2}-\frac{29}{4}$，所以对称轴为$x=-\frac{3}{2}$固定，而区间[t，t+1]是变动的，因此有
①当t+1≤-$\frac{3}{2}$，即t≤-$\frac{5}{2}$时，h（t）=f（t+1）=（t+1）²+3（t+1）-5=t²+5t-1；
②当t＞-$\frac{3}{2}$时，h（t）=f（t）=t²+3t-5；
③当t≤-$\frac{3}{2}$＜t+1，即-$\frac{5}{2}$＜t≤-$\frac{3}{2}$时，$h（t）=f（-\frac{3}{2}）=-\frac{29}{4}$．
综上可知h（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+5t-1，（t≤-\frac{5}{2}）}\\{-\frac{49}{2}，（-\frac{5}{2}＜t≤-\frac{3}{2}）}\\{{t}^{2}+3t-5，（t＞-\frac{3}{2}）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查二次函数的简单性质的应用，函数的最值以及函数的解析式的求法，考查计算能力．