Question

12．过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点且斜率为1的直线与C相交于A，B两点，若|AB|=4，则抛物线C的方程为（　　）

• A． y²=x
• B． y²=2x
• C． y²=4x
• D． y²=8x

Answer 1

分析 设直线AB的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可得x_A+x_B．再利用弦长公式|AB|=x_A+x_B+p，得到p，即可求此抛物线的方程．

解答 解：抛物线y²=2px的焦点F（$\frac{P}{2}$，0），∴直线AB的方程为y=x-$\frac{P}{2}$，
代入y²=2px可得4x²-12px+p²=0
∴x_A+x_B=3p，
由抛物线的定义可知，|AB|=AF+BF=x_A+x_B+p=4p=4
∴p=1，
∴此抛物线的方程为y²=2x．
故选：B．

点评 本题考查了抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，考查直线与抛物线相交问题、焦点弦长问题、弦长公式，属于中档题．