Question

9．过点（2，0）与抛物线x²=8y只有一个公共点的直线有（　　）

• A． 1条
• B． 2条
• C． 3条
• D． 无数条

Answer 1

分析 当过点（2，0）的直线的斜率不存在时，直线的方程为x=2；当过点（2，0）的直线的斜率等于0时，直线的方程为y=0；当过点（2，0）的直线斜率存在且不为零时，设为k，把y=k（x-2），代入抛物线方程，由判别式等于0，求得k的值，从而得到结论．

解答 解：抛物线x²=8y的焦点为（0，2），
当过点（2，0）的直线的斜率不存在时，直线的方程为x=2，
与抛物线x²=8y只有一个公共点；
当过点（2，0）的直线的斜率等于0时，直线的方程为y=0，
与抛物线x²=8y只有一个公共点；
当过点（2，0）的直线斜率存在且不为零时，设为k，
那么直线方程为：y=k（x-2），
代入抛物线方程，可得x²-8kx+16k=0，
由判别式等于0，可得64k²-64k=0，
可得k=1或0，此时直线的方程为y=x-2或y=0．
综上，满足条件的直线共有3条，
故选：C．

点评 本题考查直线和抛物线的位置关系，体现了分类讨论的数学思想，求出直线的斜率是解题的关键．