Question

14．求下列函数的单调区间：
（1）y=$\frac{2}{3}$x³-2x²+3；
（2）f（x）=x³+$\frac{3}{x}$．

Answer 1

分析 先求出函数的定义域，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系进行求解即可．

解答 解：（1）y′=2x²-4x=2x（x-2），
由y′＞0得x＞2或x＜0，此时函数单调递增，即单调递增区间为（-∞，0）∪（2，+∞）；
由y′＜0得0＜x＜2，此时函数单调递减，即单调递减区间为（0，2）；
（2）函数f（x）=x³+$\frac{3}{x}$的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
函数的导数f′（x）=3x²-$\frac{3}{{x}^{2}}$=$\frac{3{x}^{4}-3}{{x}^{2}}$，
由f′（x）＞0得3x⁴-3＞0，即x⁴＞1，得x＞1或x＜-1，此时函数单调递增，即单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞），
由f′（x）＜0得3x⁴-3＜0，即x⁴＜1，得-1＜x＜0或0＜x＜1，此时函数单调递减，即单调递减区间为（-1，0），（0，1）．

点评 本题主要考查函数单调区间的求解，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．