Question

3．设点M的坐标为（x，y）．
（1）若点M∈{（x，y）|1≤x≤4，1≤y≤4，x，y∈R}，设一点M到直线x-y=0的距离d＜$\sqrt{2}$为事件A，求事件A的概率；
（2）若点M∈{（x，y）|1≤x≤4，1≤y≤4，x，y∈z}，设随机变量ξ为点M到直线x-y=0的距离，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）作出满足条件的点M的可行域和满足条件的事件A的点包含的基本事件的几何区域，利用几何概型能求出事件A的概率．
（2）利用列举法求出点M的个数及点M到直线x-y=0的距离，由此能求出结果．

解答 解：（1）∵点M∈{（x，y）|1≤x≤4，1≤y≤4，x，y∈R}，
∴作出满足条件的点M的可行域为正方形ABCD，其边长为3，面积为S=3²=9，
设一点M到直线x-y=0的距离d＜$\sqrt{2}$为事件A，
则满足条件的事件A的点（x₁，y₁）满足：
d=$\frac{|{x}_{1}-{y}_{1}|}{\sqrt{2}}＜\sqrt{2}$，∴|x₁-y₁|＜2，
∴事件A包含的基本事件是正方形ABCD中去掉两个全等的直角△BEF和△DHG，
∵S_△BEF=S_△DGH=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$，
∴事件A的概率P（A）=$\frac{9-2×\frac{1}{2}}{9}$=$\frac{8}{9}$．
（2）∵点M∈{（x，y）|1≤x≤4，1≤y≤4，x，y∈z}，
∴M∈{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）}，
∵设随机变量ξ为点M到直线x-y=0的距离，
∴这16个点到直线x-y的距离依次为：0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，
∴ξ的可能取值为0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
P（ξ=0）=$\frac{4}{16}$=$\frac{1}{4}$，
P（ξ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{6}{16}$=$\frac{3}{8}$，
P（ξ=$\sqrt{2}$）=$\frac{4}{16}$=$\frac{1}{4}$，
P（ξ=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\sqrt{2}$	$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$

Eξ=$0×\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{3}{8}+\sqrt{2}×\frac{1}{4}+\frac{3\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{8}$=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．