Question

4．已知f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+sin²x-$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的对称中心；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=2$\sqrt{3}$，f（$\frac{A}{2}$）=$\frac{1}{2}$，cos（π-C）=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求b的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将三角函数进行化简，结合对称中心的方程即可求函数f（x）的对称中心；
（Ⅱ）利用两角和差的正弦公式以及正弦定理进行化简即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+sin²x-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1-cos2x}{2}-\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x
所以f（x）对称中心是（$\frac{kπ}{2}$，0），k∈Z．
（Ⅱ）由f（$\frac{A}{2}$）=$\frac{1}{2}$，得f（$\frac{A}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA=$\frac{1}{2}$，
即sinA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
若cosA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
而sin（A+C）=$\frac{\sqrt{3}}{3}cosC+\frac{\sqrt{6}}{3}sinC$
又$\sqrt{3}$sin（A+C）=2cosC，
所以cosC=$\sqrt{2}$sinC，
所以cosC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
所以sinB=sin（A+C）=$\frac{2}{\sqrt{3}}$cosC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$ （10分）
由正弦定理得：b=$\frac{asinB}{sinA}$=4$\sqrt{2}$．（12分）

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换以及三角函数的图象和性质，利用两角和差的正弦公式以及正弦定理是解决本题的关键．