Question

13．如图，在空间几何体ABCDEF中，底面CDEF为矩形，DE=1，CD=2，AD⊥底面CDEF，AD=1，平面BEF⊥底面CDEF，且BE=BF=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ） 证明：AB∥平面CDEF；
（Ⅱ） 求几何体A-DBC的体积V．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 过点B作BM⊥EF，利用平面与平面垂直的性质，可得BM⊥底面CDEF，利用AD⊥底面CDEF，可得BM∥AD，从而可证明四边形ADMB为平行四边形，即可证明AB∥平面CDEF；
（Ⅱ） 利用等体积转化，即可求几何体A-DBC的体积V．

解答 （Ⅰ）证明：过点B作BM⊥EF，
∵平面BEF⊥底面CDEF，且BE=BF=$\sqrt{2}$，
∴M为等腰直角三角形底边EF的中点，
∴BM⊥底面CDEF，
∵AD⊥底面CDEF，
∴BM∥AD，
又∵AD=BM=1，
∴四边形ADMB为平行四边形，∴AB∥DM，
∵AB?底面CDEF，DM?底面CDEF，
∴AB∥平面CDEF…（6分）
（Ⅱ）解：∵${V_{A-BCD}}={V_{B-ADC}}=\frac{1}{3}{S_{△ADC}}•d$（d为三棱锥B-ADC高）
∵DE⊥DC，DE⊥AD，∴DE⊥平面ADC
又∵平面BEF⊥底面CDEF，DE⊥EF，
∴DE⊥平面BEF
∴平面BEF∥平面ADC，
∵d=ED=1，${S_{△ADC}}=\frac{1}{2}×1×2=1$，∴V_A-BCD=$\frac{1}{3}×1×1$=$\frac{1}{3}$…（12分）

点评 本题考查平面与平面垂直的性质，考查线面平行的判定，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．