Question

9．对于定义在区间M上的函数f（x），若满足对?x₁，x₂∈M且x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），则称函数f（x）为区间M上的“非减函数”，若f（x）为区间[0，1]上的“非减函数”，且f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1；又当x∈[$\frac{3}{4}$，1]时，f（x）≤2x-1恒成立．有下列命题：①?x∈[0，1]，f（x）≥0；②当x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂时，f（x₁）≠f（x₂）；③f（$\frac{1}{7}$）+f（$\frac{5}{11}$）+f（$\frac{7}{13}$）+f（$\frac{6}{7}$）=2；④当x∈[$\frac{3}{4}$，1]时，f（f（x））≤f（x）．
其中正确命题有（　　）

• A． ②③
• B． ①②③
• C． ①②④
• D． ①③④

Answer 1

分析 对于①，由f（0）=0，然后直接利用“非减函数”的定义进行判断；
对于②，由x∈[$\frac{3}{4}$，1]时，f（x）≤2x-1恒成立得到f（$\frac{3}{4}$）≤$\frac{1}{2}$，在等式f（x）+f（l-x）=l中，取x=$\frac{1}{2}$得到f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，而$\frac{3}{4}$＞$\frac{1}{2}$，从而说明f（$\frac{3}{4}$）≥$\frac{1}{2}$．利用两边夹的思想得到f（$\frac{3}{4}$）=$\frac{1}{2}$．同理得到f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{2}$．结合新定义即可得到结论；
对于③，结合②的结论及等式f（x）+f（l-x）=l变形即可得到；
对于④，当x∈[$\frac{3}{4}$，1]时，判断f（x）与x的大小关系即可．正确．

解答 解：对于①，因为f（0）=0，所以对?x∈[0，1]，根据“非减函数”的定义知f（x）≥0．所以①正确；
对于②，因为当x∈[$\frac{3}{4}$，1]时，f（x）≤2x-1恒成立，
∴f（$\frac{3}{4}$）≤$\frac{1}{2}$，
又f（x）+f（l-x）=l，所以f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
由而$\frac{3}{4}$＞$\frac{1}{2}$，由“非减函数”的定义可知，所以f（$\frac{3}{4}$）≥$\frac{1}{2}$．
所以f（$\frac{3}{4}$）=$\frac{1}{2}$．
同理有f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{2}$．
当x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]时，由“非减函数”的定义可知，f（$\frac{1}{4}$）≤f（x）≤f（$\frac{3}{4}$），所以f（x）=$\frac{1}{2}$．所以②不正确；
由②中，当x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]时，f（x）=$\frac{1}{2}$．可得：
所以③正确；f（$\frac{5}{11}$）=f（$\frac{7}{13}$）=$\frac{1}{2}$，由f（x）+f（1-x）=1得：f（$\frac{1}{7}$）+f（$\frac{6}{7}$）=1，
故f（$\frac{1}{7}$）+f（$\frac{5}{11}$）+f（$\frac{7}{13}$）+f（$\frac{6}{7}$）=2，故③正确；
对于④，当x∈[$\frac{3}{4}$，1]时，x≥2x-1，因为函数f（x）为区间D上的“非减函数”，
所以f（x）≥f（2x-1），
所以f（f（x））≤f（2x-1）≤f（x）．所以④正确．
故正确命题有：①③④．
故选：D

点评 本题考查了命题的真假判断与运用，考查了抽象函数的性质，解答的关键是正确理解新定义，考查了学生的抽象思维能力，是中档题．