【题目】请从下面三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并作答.
①AB⊥BC,②FC与平面ABCD所成的角为,③∠ABC.
如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2,,PD的中点为F.
(1)在线段AB上是否存在一点G,使得AF平面PCG?若存在,指出G在AB上的位置并给以证明;若不存在,请说明理由;
(2)若_______,求二面角F﹣AC﹣D的余弦值.
【答案】(1)存在,G是线段AB的中点,证明见解析;(2)详见解析
【解析】
(1)设PC的中点为H,连结FH,由题意得AGHF为平行四边形,则AF∥GH,由此能证明在线段AB上存在中点G,使得AF∥平面PCG.
(2)选择①AB⊥BC,推导出AB,AD,AP彼此两两垂直,以AB,AD,AP分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角F﹣AC﹣D的余弦值.选择②FC与平面ABCD所成的角为,取BC中点E,连结AE,取AD的中点M,连结FM,CM,则FM∥PA,且FM=1,FM⊥平面ABCD,FC与平面ABCD所成角为∠FCM,,推导出AE,AD,AP彼此两两垂直,以AE、AD、AP分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角F﹣AC﹣D的余弦值.选择③∠ABC,推导出PA⊥BC,取BC中点E,连结AE,推导出 AE,AD,AP彼此两两垂直,以AE、AD、AP分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角F﹣AC﹣D的余弦值.
(1)在线段AB上存在中点G,使得AF∥平面PCG.
证明如下:如图所示:
设PC的中点为H,连结FH,
因为,,,,
所以
所以四边形AGHF为平行四边形,
则AF∥GH,
又GH平面PGC,AF平面PGC,
∴AF∥平面PGC.
(2)选择①AB⊥BC:
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,
由题意知AB,AD,AP彼此两两垂直,
以AB,AD,AP分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
∵PA=AB=2,
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),F(0,1,1),P(0,0,2),
∴(0,1,1),(﹣2,﹣1,1),
设平面FAC的一个法向量为(x,y,z),
∴,
取y=1,得(﹣1,1,﹣1),
平面ACD的一个法向量为(0,0,1),
设二面角F﹣AC﹣D的平面角为θ,
则cosθ,
∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值为.
选择②FC与平面ABCD所成的角为:
∵PA⊥平面ABCD,取BC中点E,连结AE,取AD的中点M,连结FM,CM,
则FM∥PA,且FM=1,
∴FM⊥平面ABCD,
FC与平面ABCD所成角为∠FCM,∴,
在Rt△FCM中,CM,
又CM=AE,∴AE2+BE2=AB2,∴BC⊥AE,
∴AE,AD,AP彼此两两垂直,
以AE、AD、AP分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
∵PA=AB=2,
∴A( 0,0,0),B( ,﹣1,0),C(,1,0),D(0,2,0),E(,0,0),F(0,1,1),P(0,0,2),
∴(0,1,1),(,0,1),
设平面EAC的一个法向量为(x,y,z),
则,
取x,得(,﹣3,3),
平面ACD的一个法向量为:(0,0,1),
设二面角F﹣AC﹣D的平面角为θ,
则cosθ.
∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值为.
选择③∠ABC:
∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥BC,取BC中点E,连结AE,
∵底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,∴△ABC是正三角形,
∵E是BC的中点,∴BC⊥AE,
∴AE,AD,AP彼此两两垂直,
以AE、AD、AP分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
∵PA=AB=2,
∴A( 0,0,0),B( ,﹣1,0),C(,1,0),D(0,2,0),E(,0,0),F(0,1,1),P(0,0,2),
∴(0,1,1),(,0,1),
设平面EAC的一个法向量为(x,y,z),
则,
取x,得(,﹣3,3),
平面ACD的法向量(0,0,1),
设二面角F﹣AC﹣D的平面角为θ,
θ则cosθ.
∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值为.
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【题目】我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行调查,通过抽样,获得某年100为居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图的的值;
(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,说明理由.
(3)估计居民月用水量的中位数.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某市为提升中学生的数学素养,激发学生学习数学的兴趣,举办了一次“数学文化知识大赛”,分预赛和复赛两个环节.已知共有8000名学生参加了预赛,现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本,得到如下频率分布直方图.
(1)规定预赛成绩不低于80分为优良,若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人,求恰有1人预赛成绩优良的概率;
(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值(同一组数据用该组区间的中点值代替),且σ2=362.利用该正态分布,估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩不低于91分的人数;
(3)预赛成绩不低于91分的学生将参加复赛,复赛规则如下:①每人的复赛初始分均为100分;②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量n,每一题都需要“花”掉(即减去)一定分数来获取答题资格,规定答第k题时“花”掉的分数为0.1k(k∈(1,2n));③每答对一题加1.5分,答错既不加分也不减分;④答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩.已知学生甲答对每道题的概率均为0.7,且每题答对与否都相互独立.若学生甲期望获得最佳的复赛成绩,则他的答题数量n应为多少?
(参考数据:;若Z~N(μ,σ2),则P(μ﹣σ<Z<μ+σ)≈0.6827,P(μ﹣2σ<Z<μ+2σ)≈0.9545,P(μ﹣3σ<Z<μ+3σ)≈0.9973.
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【题目】如图,平面α∩平面β=l,A,C是α内不同的两点,B,D是β内不同的两点,且A,B,C,D直线l,M,N分别是线段AB,CD的中点.下列判断正确的是( )
A.若ABCD,则MNl
B.若M,N重合,则ACl
C.若AB与CD相交,且ACl,则BD可以与l相交
D.若AB与CD是异面直线,则MN不可能与l平行
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【题目】在三棱锥,中,平面,,,,为的中点,为的中点.
(1)证明:平面平面;
(2)在线段上是否存在一点,使平面?若存在,指出点的位置并给出证明,若不存在,说明理由;
(3)若,求二面角的大小.
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【题目】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2a=2bcosC+csinB.
(Ⅰ)求tanB;
(Ⅱ)若C,△ABC的面积为6,求BC.
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【题目】已知函数的定义域为D,若存在实常数及,对任意,当且时,都有成立,则称函数具有性质.
(1)判断函数是否具有性质,并说明理由;
(2)若函数具有性质,求及应满足的条件;
(3)已知函数不存在零点,当时具有性质(其中,),记,求证:数列为等比数列的充要条件是或.
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【题目】如图,是正方形,点在以为直径的半圆弧上(不与,重合),为线段的中点,现将正方形沿折起,使得平面平面.
(1)证明:平面.
(2)若,当三棱锥的体积最大时,求到平面的距离.
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