Question

【题目】已知函数的定义域为D，若存在实常数及，对任意，当且时，都有成立，则称函数具有性质.

（1）判断函数是否具有性质，并说明理由；

（2）若函数具有性质，求及应满足的条件；

（3）已知函数不存在零点，当时具有性质（其中，），记，求证:数列为等比数列的充要条件是或.

Answer 1

【答案】（1）不具备，理由见解析；（2）时，且；时，；（3）证明见解析.

【解析】

（1）先假设函数具有性质，根据题意求出，与矛盾，即可判断出结果；

（2）根据题意，得到，推出，求解，即可得出结果；

（3）根据题意，先得到，，根据等比数列的定义，以及数学归纳法，分别证明必要性和充分性，即可证明结论成立.

（1）若函数具有性质；则

即，

所以，即，与矛盾，所以函数不具有性质；

（2）若函数具有性质，

则，

即，

即，

所以，因此，即，

解得：或；所以 或；

当时，且，所以且；

当时，，所以；

（3）因为函数在时具有性质（其中，），

所以，

又函数不存在零点，，

所以，；

下面证明必要性：

若数列为等比数列，则，

又，所以，

因此，所以，即或；

接下来证明充分性：

若，因为，所以，因此；

猜想：；

用数学归纳法证明如下：

①当时，显然成立；

②假设时，成立，成立；

则当时，由得，

所以，即，所以，

即时，也成立，

由①②可得，恒成立；即数列为公比是的等比数列；

同理：时，数列为公比是的等比数列；

综上，数列为等比数列的充要条件是或.