Question

11．已知锐角△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2csinB=$\sqrt{3}$b．
（1）求角C的大小；
（2）若边c=1，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由2csinB=$\sqrt{3}$b，利用正弦定理可得：2sinCsinB=$\sqrt{3}$sinB，sinB≠0，化为sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又△ABC是锐角三角形，可得C．
（2）由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，利用基本不等式的性质可得：1=a²+b²-2ab$cos\frac{π}{3}$≥2ab-ab=ab，当且仅当a=b=1时取等号．即可得出△ABC面积的最大值．

解答 解：（1）∵2csinB=$\sqrt{3}$b，
∴2sinCsinB=$\sqrt{3}$sinB，
∵sinB≠0，∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又△ABC是锐角三角形，∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，
∴1=a²+b²-2ab$cos\frac{π}{3}$≥2ab-ab=ab，当且仅当a=b=1时取等号．
∴△ABC面积的最大值=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．