Question

19．设向量$\overrightarrow{a}$=（1，4cosx），$\overrightarrow{b}$=（4$\sqrt{3}$sinx，1），x∈R．
（1）若x∈（$\frac{π}{2}$，π），且|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，求sin（x+$\frac{π}{4}$），cos2x，tan2x的值；
（2）设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，求f（x）在[0，π]上的值域．

Answer 1

分析 （1）运用向量的模的公式，结合同角的基本关系式，以及两角和的正弦公式、二倍角公式计算即可得到所求值；
（2）运用向量的数量积的坐标表示，以及两角和的正弦公式，结合正弦函数的图象和性质，可得最值，进而得到值域．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（1，4cosx），且|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，
可得1+16cos²x=2，解得cosx=-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{4}$舍去），
sinx=$\sqrt{1-\frac{1}{16}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，tanx=$\frac{sinx}{cosx}$=-$\sqrt{15}$，
则sin（x+$\frac{π}{4}$）=sinxcos$\frac{π}{4}$+cosxsin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{\sqrt{15}}{4}$-$\frac{1}{4}$）=$\frac{\sqrt{30}-\sqrt{2}}{8}$；
cos2x=2cos²x-1=2×$\frac{1}{16}$-1=-$\frac{7}{8}$；
tan2x=$\frac{2tanx}{1-ta{n}^{2}x}$=$\frac{-2\sqrt{15}}{1-15}$=$\frac{\sqrt{15}}{7}$；
（2）函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4$\sqrt{3}$sinx+4cosx
=8（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx）=8sin（x+$\frac{π}{6}$），
由x∈[0，π]，可得x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
当x=$\frac{π}{3}$时，f（x）取得最大值8，
当x=π时，f（x）取得最小值-4．
即有f（x）的值域为[-4，8]．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示和模的求法，考查两角和差公式及二倍角公式的运用，考查正弦函数的图象和性质的运用，属于中档题．