Question

7．已知a＞0，b∈R，函数f（x）=4ax²-2bx-a+b的定义域为[0，1]．
（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）在定义域内有两个不同的零点，求b的取值范围；
（Ⅱ）记f（x）的最大值为M，证明：f（x）+M＞0．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（0）≥0，f（1）≥0，△＞0，0＜$\frac{b}{4}$＜1，解不等式即可得到所求范围；
（2）求出对称轴，讨论对称轴和区间[0，1]的关系，可得最值，即可证明f（x）+M＞0．

解答 解：（1）由题意可得f（x）=4x²-2bx-1+b在[0，1]内有两个不同的零点，
即有 $\left\{\begin{array}{l}{f（0）=b-1≥0}\\{f（1）=3-b≥0}\\{△={4b}^{2}-16（b-1）＞0}\\{0＜\frac{b}{4}＜1}\end{array}\right.$，
解得1≤b＜2或2＜b≤3；
（2）记f（x）的最大值为M，证明：f（x）+M＞0．
只需证明f（x）_最小值+M＞0即可，设f（x）的最小值是m，
问题转化为证明M+m＞0，
证明如下：f（x）的对称轴为x=$\frac{b}{4a}$，
当$\frac{b}{4a}$＞1时，区间[0，1]为减区间，可得M=f（0）=b-a，
m=f（1）=3a-b，则M+m=2a＞0；
当$\frac{b}{4a}$＜0时，区间[0，1]为增区间，可得m=f（0）=b-a，
M=f（1）=3a-b，则M+m=2a＞0；
当0≤$\frac{b}{4a}$≤1时，区间[0，$\frac{b}{4a}$]为减区间，[$\frac{b}{4a}$，1]为增区间，
可得m=f（$\frac{b}{4a}$）=$\frac{4ab-{4a}^{2}{-b}^{2}}{4a}$，
若f（0）≤f（1），即b≤2a，可得M=f（1）=3a-b，
M+m=$\frac{{8a}^{2}{b}^{2}}{4a}$≥$\frac{{8a}^{2}-{a}^{2}}{4a}$=$\frac{7}{4}$a＞0；
若f（0）＞f（1），即2a＜b≤4a，可得M=f（0）=b-a，
M+m=$\frac{8ab-{8a}^{2}{-b}^{2}}{4a}$=$\frac{{-（b-4a）}^{2}+{8a}^{2}}{4a}$，
由于2a＜b≤4a，可得M+m∈（a，2a]，即为M+m＞0．
综上可得：f（x）_max+f（x）_min＞0恒成立，即f（x）+M＞0．

点评 本题考查函数的零点问题的解法，注意运用二次函数的图象，考查函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题．