Question

某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x(x取整数)元与日销售量y台之间有如下关系：

x	35	40	45	50
y	56	41	28	11

(1)画出散点图，并判断y与x是否具有线性相关关系？
(2)求日销售量y对销售单价x的线性回归方程；
(3)设经营此商品的日销售利润为P元，根据(1)写出P关于x的函数关系式，并预测当销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润．

Answer 1

(1)见解析     (2)＝－3x＋161.5   (3) 销售单价为42元时，能获得最大日销售利润

解：(1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量线性相关．

(2)∵＝×(35＋40＋45＋50)＝42.5.
＝×(56＋41＋28＋11)＝34.
＝35×56＋40×41＋45×28＋50×11＝5 410.
＝35²＋40²＋45²＋50²＝7 350.
∴＝＝＝≈－3.
∴＝－＝34－(－3)×42.5＝161.5.
∴＝－3x＋161.5.
(3)依题意有
P＝(－3x＋161.5)(x－30)＝－3x²＋251.5x－4 845
＝－3(x－)²＋－4 845.
∴当x＝≈42时，P有最大值，约为426.
即预测销售单价为42元时，能获得最大日销售利润．
方法点评：该题属于线性回归问题，解答本类题目的关键首先应先通过散点图(或相关性检验求相关系数r)来分析两变量间的关系是否相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析．