Question

【题目】已知椭圆的长轴长为4，且经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线的斜率为，且与椭圆相交于，两点（异于点），过作的角平分线交椭圆于另一点.证明：直线与坐标轴平行.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）根据椭圆的性质，求解即可；

（2）因为平分，欲证与坐标轴平行，即证明直线的方程为或，只需证，斜率都存在，且满足即可.将直线的方程与椭圆方程联立，结合韦达定理求解即可.

（1）解：，将代入椭圆方程，得，

解得，故椭圆的方程为.

（2）证明：∵平分

欲证与坐标轴平行，即证明直线的方程为或

只需证，斜率都存在，且满足即可.

当或斜率不存在时，即点或点为，

经检验，此时直线与椭圆相切，不满足题意，故，斜率都存在.

设直线：，，，

联立，

，∴，

由韦达定理得，，

得证.