【题目】已知过定点且与直线垂直的直线与轴、轴分别交于点,点满足.
(1)若以原点为圆心的圆与有唯一公共点,求圆的轨迹方程;
(2)求能覆盖的最小圆的面积;
(3)在(1)的条件下,点在直线上,圆上总存在两个不同的点使得为坐标原点),求的取值范围.
【答案】(1) (2) (3)
【解析】
(1),得在直线上,求出 ,确定圆的半径则方程可求
(2)由几何关系得能覆盖三角形ABC的最小圆是以AB为直径的圆,计算,则圆的面积可求
(3)由,则有OP与MN互相垂直平分,得利用点在直线上得的不等式求解
(1)因为,所以在线段的垂直平分线上,即在直线上,
故
以原点为圆心的圆与有唯一公共点,
此时圆的半径
故:圆的方程为
(2)由于三角形ABC为钝角三角形且AB为最长边,故能覆盖三角形ABC的最小圆是以AB为直径的圆
由于点,所以
故该圆的半径为
所以能覆盖该三角形的最小圆面积
(3)span>(O为坐标原点),则有OP与MN互相垂直平分,
所以圆心到直线MN的距离小于1.即又
又,代入(1)得
所以实数的取值范围为
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【题目】已知非零数列的递推公式为,.
(1)求证数列是等比数列;
(2)若关于的不等式有解,求整数的最小值;
(3)在数列中,是否一定存在首项、第项、第项,使得这三项依次成等差数列?若存在,请指出所满足的条件;若不存在,请说明理由.
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【题目】在平行四边形中,,,过点作的垂线,交的延长线于点,.连结,交于点,如图1,将沿折起,使得点到达点的位置,如图2.
(1)证明:平面平面;
(2)若为的中点,为的中点,且平面平面,求三棱锥的体积.
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【题目】已知集合,其中,.如果集合满足:对于任意的,都有,那么称集合具有性质.
(Ⅰ)写出一个具有性质的集合;
(Ⅱ)证明:对任意具有性质的集合,;
(Ⅲ)求具有性质的集合的个数.
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【题目】已知椭圆的短轴长为,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设椭圆的左,右焦点分别为,左,右顶点分别为,,点,,为椭圆上位于轴上方的两点,且,直线的斜率为,记直线,的斜率分别为,,求的值.
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【题目】为了调查消费者的维权意识,青岛二中的学生记者在五四广场随机调查了120名市民,按他们的年龄分组:第1组[20.30),第2组[30,40),第3组[40,50),第4组[50,60),第5组[60,70),得到的频率分布直方图如图所示.
(1)若要从被调查的市民中选1人采访,求被采访人恰好在第2组或第5组的概率;
(2)已知第1组市民中男性有2人,学生要从第1组中随机抽取3名市民组成维权志愿者服务队,求至少有两名女性的概率.
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【题目】如图①,在等腰梯形中,,,分别为,的中点,,为中点现将四边形沿折起,使平面平面,得到如图②所示的多面体在图②中,
(1)证明:;
(2)求二面角的余弦值。
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【题目】如图,五边形ABSCD中,四边形ABCD为矩形,AB=1,△BSC为边长为2的正三角形,将△BSC沿BC折起,使得侧面SAD垂直于平面ABCD,E、F分别为SA、DC的中点.
(1)求证:EF∥面SBC;
(2)求四棱锥S﹣ABCD的侧面积.
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