Question

【题目】椭圆的经过中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条线段，称为该直径的共轭直径，已知椭圆的方程为.

（1）若一条直径的斜率为，求该直径的共轭直径所在的直线方程；

（2）若椭圆的两条共轭直径为和，它们的斜率分别为，证明：四边形的面积为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）利用点差法计算. 设斜率为的与直径平行的弦的端点坐标分别为，，

该弦中点为，将坐标代入椭圆方程，作差，然后化简得，即直径的共轭直径所在的直线方程为；（2）四边形显然为平行四边形，联立直线的方程和椭圆的方程，分别求得四点的坐标分别为，，，，然后利用两点间距离公式和点到直线距离公式，求得面积为.

试题解析：

（1）设斜率为的与直径平行的弦的端点坐标分别为，，

该弦中点为，则有，，

相减得：，

由于，，且，所以得：，

故该直径的共轭直径所在的直线方程为.

（2）椭圆的两条共轭直径为和，它们的斜率分别为，

四边形显然为平行四边形，设与平行的弦的端点坐标分别为，，

则，，而，，

，故，

由得的坐标分别为，

故，同理的坐标分别为，

设点到直线的距离为，四边形的面积为,

所以，，

则，为定值.