Question

18．判断命题“若a=2，或$\frac{11}{5}$≤a＜3，则关于x的一元二次方程x²-2ax+a+2=0在区间（1，3）上有且只有一个根”的真假．

Answer 1

分析 a=2时，容易求出方程有二重根2∈（1，3），$\frac{11}{5}≤a＜3$时先判断出原方程有两个不同实根，然后说明要满足原方程在（1，3）上只有一个根，需满足$\frac{11}{5}≤a＜3$即可．

解答 解：①a=2时，解x²-4x+4=0，得x=2，满足原方程在（1，3）上相等的两根；
②$\frac{11}{5}≤a＜3$时，对于方程x²-2ax+a+2=0；
$△=4{a}^{2}-4a-8=4（a-\frac{1}{2}）^{2}-9$；
$a=\frac{11}{5}$时，$4（\frac{11}{5}-\frac{1}{2}）^{2}-9=\frac{64}{25}＞0$；
∴此时，原方程有两个不同实数根，若满足方程在（1，3）上有且只有一个根，设f（x）=x²-2ax+a+2，则：
$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=3-a≤0}\\{f（3）=11-5a＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{f（3）=11-5a≤0}\\{f（1）=3-a＞0}\end{array}\right.$；
解得$\frac{11}{5}≤a＜3$；
∴这种情况下原方程在（1，3）上有且只有一个根；
∴原命题为真命题．

点评 考查真假命题的概念，一元二次方程的实数根的个数与判别式△的关系，以及二次函数的单调性．