Question

18．在△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，O为△ABC内心，则$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$=4．

Answer 1

分析 分别以BC、BA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，设出O的坐标，由向量共线求出O的坐标，得到$\overrightarrow{AO}$的坐标，然后由向量数量积求得答案．

解答 解：如图，

分别以BC、BA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，
则B（0，0），C（4，0），A（0，3），
设O（m，m），
设$\overrightarrow{AO}$方向上的单位向量为$\overrightarrow{e}$，
则$\overrightarrow{e}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}（0，-3）+\frac{1}{5}（4，3）$=（$\frac{4}{5}，-\frac{8}{5}$），
又$\overrightarrow{AO}=（m，m-3）$，∴$\frac{m-3}{m}=-2$，即m=1．
∴$\overrightarrow{AO}=（1，-2）$，
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$=（1，-2）•（4，0）=4．
故答案为：4．

点评 本题考查向量知识，考查平面向量基本定理的运用，考查学生的计算能力，关键是运用坐标运用算求解，属于中档题．