Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M、N为侧棱PC上的两个三等分点．
①求证：AN∥平面MBD；
②求二面角M-BD-C的余弦值．

Answer 1

分析：①利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；
②通过建立空间直角坐标系，利用求两个平面的法向量所成的夹角的余弦值即可．

解答：解：①证明：连接对角线AC交BD于点O，
∵底面ABCD是矩形，∴AO=OC．
又∵NM=MC=

1

3

PC，∴OM∥AN．
又∵AN?平面MBD，OM?平面MBD．
∴AN∥平面MBD；
②距离如图所示的空间直角坐标系：∵BC=2AB=2PA=6，∴D（6，0，0），C（6，3，0），B（0，3，0），P（0，0，3）．
由M点为线段PC的三等分点，∴M（4，2，1）．
∴

DB

=(-6，3，0)，

DM

=(-2，2，1)．
设平面BMD的法向量

n

=(x，y，z)．
则

n • DB =0 n • DM =0

即

-6x+3y=0 -2x+2y+z=0

，令y=2，则x=1，z=

5

2

．
∴

n

=(1，2，

5

2

)．
∵PA⊥平面BCD，∴可取

AP

=（0，0，3）作为平面BCD的法向量．
∴cos＜

n

，

AP

＞=

n • AP

| n | | AP |

=

3× 5 2

12+22+( 5 2 )2 32

=

5

3

．
∴二面角M-BD-C的余弦值为

5

3

．

点评：熟练掌握三角形的中位线定理和线面平行的判定定理及利用两个平面的法向量所成的夹角的余弦值求二面角的余弦值是解题的关键．