Question

已知抛物线y²=4x，点F是抛物线的焦点，点M在抛物线上，O为坐标原点．
（1）当 

FM

•

OM

=4时，求点M的坐标；
（2）求 

| OM |

| FM |

的最大值；
（3）设点B（0，1），是否存在常数λ及定点H，使得 

BM

+2

FM

=λ

HM

恒成立？若存在，求出λ的值及点H的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由抛物线的性质可得，F（1，0），设点M（x，y） （x≥0）由

FM

•

OM

=4  及点M满足y²=4x可求x，y的值，进而可求M
（2）设点M（x，y），其中x≥0．，利用向量的数量积的性质可用x表示 

| OM |

| FM |

=

3 (x+1)2 + 2 x+1 +1

，利用换元法及二次函数性质可求
（3）设点M（x，y），其中x≥0．假设存在常数λ及定点H（x₁，y₁），使得

BM

+2

FM

=λ

HM

恒成立．则由

BM

+2

FM

=λ

HM

，得（x，y-1）+2（x-1，y）=λ（x-x₁，y-y₁），从而可求λ及x₁，y₁

解答：解：（1）由抛物线的性质可得，F（1，0），设点M（x，y）   （x≥0）
∵

FM

•

OM

=4∴x（x-1）+y²=4①又∵y²=4x②
①②联立可得，x=1，y=±2     即M（1，2）或M（1，-2）
（2）设点M（x，y），其中x≥0.

| OM |

| FM |

  = 

x2+y2

(x-1)2+y2

  = 

x2+4x (x+1)2

  = 

-3 (x+1)2 + 2 x+1 +1

．
设t=

1

x+1

(0＜t≤1)，
则

| OM |

| FM |

  =  

-3t2+2t+1

  =  

-3(t- 1 3 )2+ 4 3

．
因为0＜t≤1，所以当t=

1

3

（即x=2）时，

| OM |

| FM |

取得最大值

2 3

3

．
（3）设点M（x，y），其中x≥0．
假设存在常数λ及定点H（x₁，y₁），使得

BM

+2

FM

=λ

HM

恒成立．
由

BM

+2

FM

=λ

HM

，
得（x，y-1）+2（x-1，y）=λ（x-x₁，y-y₁），解：抛物线y²=4x的焦点F的坐标是（1，0），设点M（x₀，y₀），其中x₀≥0．
因为

FM

=(x0-1，y0)，

OM

=(x0，y0)，
所以

FM

•

OM

=x0(x0-1)+

y

2 0

=

x

2 0

+3x0=4，
解得x₀=1，或x₀=-4（舍）．
因为y₀²=4x₀，所以y₀=±2，
即点M的坐标为（1，2），（1，-2）．
即

3x-2=λx-λx1  3y-1  =λy-λy1

整理得

(λ-3)x+2-λx1=0  (λ-3)y +  1 -λy1 =0 .

由x及y的任意性知λ=3，
所以x1=

2

3

，y1=

1

3

．
综上，存在常数λ=3及定点H(

2

3

，

1

3

)，使得

BM

+2

FM

=λ

HM

恒成立．

点评：本题以抛物线的性质的应用为切入点，主要考查了平面向量的数量积的性质的应用，平面向量的基本运算，考查了考试的逻辑推理与运算的能力，具有一定的综合性．