Question

已知奇函数f（x）=px+

q

x

+r（实数p、q、r为常数），且满足f（1）=

5

2

，f（2）=

17

4

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）试判断函数f（x）在区间（0，

1

2

]上的单调性，并用函数单调性定义证明；（3）当x∈（0，

1

2

]时，函数f（x）≥2-m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的性质,函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）运用奇函数的定义，可得r=0，再由条件得到p，q的方程，解得即可得到解析式；
（2）运用单调性的定义证明，注意作差、变形、定符号和下结论几个步骤；
（3）运用单调性求出最小值，当x∈（0，

1

2

]时，函数f（x）≥2-m恒成立即为f（x）_min≥2-m，解不等式即可得到范围．

解答： 解：（1）∵f（-x）=-f（x）∴r=0
∵

f(1)= 5 2 f(2)= 17 4

即有

p+q= 5 2 2p+ q 2 = 17 4

即

p=2 q= 1 2

，
则f（x）=2x+

1

2x

；
（2）函数f（x）在区间（0，

1

2

]上单调递减．
证明：设0＜m＜n≤

1

2

，则f（m）-f（n）=2（m-n）+

1

2m

-

1

2n

=2（m-n）+

n-m

2mn

=

(n-m)(1-4mn)

2mn

，由于0＜m＜n≤

1

2

，则m-n＜0，0＜mn＜

1

4

，1-4mn＞0，
则有f（m）-f（n）＞0，即f（m）＞f（n），
则函数f（x）在区间（0，

1

2

]上单调递减；
（3）由（2）知，函数f（x）在区间（0，

1

2

]上单调递减，则f（

1

2

）最小，且为2，
当x∈（0，

1

2

]时，函数f（x）≥2-m恒成立即为f（x）_min≥2-m，
即有2≥2-m，解得，m≥0．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查不等式的恒成立问题转化为求函数最值问题，考查运算能力，属于中档题．