Question

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=

3

，BC=1，P为△ABC内一点，
∠BPC=90°．
（1）若PC=

3

2

．求PA．
（2）若∠APC=120°，求△ABP的面积S．

Answer 1

分析：（1）在Rt△BPC中利用三角函数的定义，算出sin∠PBC=

3

2

，可得∠PBC=60°，从而BP=BCcos60°=

1

2

．然后在△APB中算出∠PBA=30°，利用余弦定理即可算出PA的大小．
（2）设∠PBA=α，从而算出PB=sinα，∠PAB=60°-α．在△APB中根据正弦定理建立关于α的等式，解出2sinα=

3

cosα，利用同角三角函数的关系算出sinα=

21

7

，得到PB长．再利用三角形面积公式加以计算，即可得出△ABP的面积S．

解答：解：（1）∵在Rt△BPC中，PC=

3

2

，BC=1，
∴sin∠PBC=

PC

BC

=

3

2

，可得∠PBC=60°，BP=BCcos60°=

1

2

．
∵∠PBA=90°-∠PBC=30°，
∴△APB中，由余弦定理PA²=PB²+AB²-2PB•AB•cos∠PBA，
得PA²=

1

4

+3-2×

1

2

×

3

×

3

2

=

7

4

，
解得PA=

7

2

（舍负）．
（2）设∠PBA=α，可得∠PBC=90°-α，∠PAB=180°-∠PBA-∠APB=60°-α，
在Rt△BPC中，PB=BCcos∠PBC=cos（90°-α）=sinα，
△ABP中，由正弦定理得

AB

sin120°

=

PB

sin(60°-α)

，
即

3

3 2

=

sinα

sin(60°-α)

，
∴sinα=2sin（60°-α）=2（

3

2

cosα-

1

2

sinα），
化简得2sinα=

3

cosα，sin²α+cos²α=

7

3

sin²α=1，
∴sin²α=

3

7

，结合α是锐角，可得sinα=

21

7

，
∴PB=sinα=

21

7

，
∴△ABP的面积S=

1

2

AB•PB•sin∠PBA=

1

2

×

3

×

21

7

×

21

7

=

3 3

14

．

点评：本题在直角三角形中求线段PA的长与角的正切值，着重考查了利用正余弦定理解三角形、同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式等知识，属于中档题．