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    如图所示，将一块直角三角形板ABO置于平面直角坐标系中，已知AB=OB=1，AB⊥OB，点P(
    1
    2
    ，
    1
    4
    )    是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角板锯成△AMN．设直线MN的斜率为k，问：
    （1）求直线MN的方程？
    （2）求点M，N的坐标，并求k范围？
    （3）用区间D表示△AMN的面积的取值范围，求出区间D？若S2＞m（-2S+1）对任意S∈D恒成立，求m的取值范围？
    考点：点到直线的距离公式,两条直线的交点坐标
    专题：直线与圆
    分析：（1）利用点斜式即可得出；
    （2）由已知可得：直线OA方程为：y=x 直线AB方程为：x=1，分别与直线MN的方程联立即可得出；
    （3）利用三角形的面积计算公式可得S△AMN，通过换元利用导数即可得出其单调性最值，进而得出区间D；
    已知S2＞m（-2S+1）对任意S∈D恒成立．可转化为m＜
    S2
    -2S+1
    =
    1
    (
    1
    S
    -1)    2    -1
    ，S∈[
    1
    4
    ，
    1
    3
    ]    ，
    1
    S
    ∈[3，4]    ．
    再利用二次函数的单调性即可得出．
    解答： 解：（1）依题意得直线MN的斜率存在，则设MN方程为：y-
    1
    4
    =k(x-
    1
    2
    )    ．
    （2）∵AB⊥OB，|AB|=|OB|=1，
    ∴直线OA方程为：y=x 直线AB方程为：x=1，
    由
    y-
    1
    4
    =k(x-
    1
    2
    )
    y=x
    得M(
    2k-1
    4(k-1)
    ，
    2k-1
    4(k-1)
    )    ．
    ∵
    2k-1
    4(k-1)
    ≥0    ，∴k＞1或k≤
    1
    2
    ，
    又由
    y-
    1
    4
    =k(x-
    1
    2
    )
    x=1
    得N(1，
    2k+1
    4
    )    且
    2k+1
    4
    ≥0    ，
    得k≥-
    1
    2
    ，∴-
    1
    2
    ≤k≤
    1
    2
    ．
    （3）S△AMN=
    1
    2
    •|AN|•h=
    1
    2
    [1-
    2k-1
    4
    ][1-
    2k-1
    4(k-1)
    ]    =
    1
    32
    [4(1-k)+
    1
    1-k
    +4]    ．
    设t=1-k∈[
    1
    2
    ，
    3
    2
    ]    ，f(t)=4t+
    1
    t
    ．
    ∵f′(t)=4-
    1
    t2
    =
    4t2-1
    t2
    ≥0    ，
    ∴f（t）在[
    1
    2
    ，
    3
    2
    ]    是单调递增．
    ∴当t=
    3
    2
    时，f(t)=
    20
    3
    ，即当1-k=
    3
    2
    时即k=-
    1
    2
    时，
    （S△）max=
    1
    32
    [
    20
    3
    +4]=
    1
    3
    .t=
    1
    2
    （S△）min=
    1
    4
    ，∴D=[
    1
    4
    ，
    1
    3
    ]    ．
    已知S2＞m（-2S+1）对任意S∈D恒成立．
    又∵-2S+1∈[
    1
    3
    ，
    1
    2
    ]    ，
    ∴m＜
    S2
    -2S+1
    =
    1
    (
    1
    S
    -1)    2    -1
    ，S∈[
    1
    4
    ，
    1
    3
    ]    ，
    1
    S
    ∈[3，4]    ．
    ∴m＜(
    1
    (
    1
    S
    -1)    2    -1
    )min=
    1
    8
    ．
    点评：本题考查了直线的点斜式方程、三角形的面积计算公式、利用导数研究函数的单调性、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．
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    ．

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    a
    =（2，0），
    b
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    A、
    a
    •
    b
    =1
    B、
    |a|
    =
    |b|
    C、（
    a
    -
    b
    ）⊥
    b
    D、
    a
    ∥
    b

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    x 2 5 3 1 4
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    ．

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    a
    =(2，-1)，
    b
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    a
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    b
    ，则实数k的值为
     
    ．

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