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在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆C:=1(a>b≥1)的离心率e=,且椭圆C上的点到点Q (0,3)的距离最大值为4,过点M(3,0)的直线交椭圆C于点A、B.
(1)求椭圆C的方程。
(2)设P为椭圆上一点,且满足(O为坐标原点),当|AB|<时,求实数t的取值范围.

(1) ;(2)

解析试题分析:(1)此问主要考察椭圆与双曲线的性质,椭圆的离心率与双曲线的性质相等,则,利用直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径,解出,然后利用,解出,得到方程;
(2)典型的直线与圆锥曲线相交问题,首先方程联立,写出根与系数的关系,代入向量相等的坐标表示,得出点坐标,利用点在椭圆上,代入方程,然后利用,利用弦长公式,得到的范围,与之前得到的的关系式,求出的范围.
试题解析:(1)∵ ∴        1分
则椭圆方程为?设
,当时,
有最大值为? 解得?∴,椭圆方程是    5分
(2)设?方程为?
?整理得. 
,解得
        7分
  则,
, 由点P在椭圆上,代入椭圆方程得
①         9分
又由,即
,代入得
,  ∴②      11分,
由①,得.联立②,解得
        13分
考点:1.圆锥曲线的性质;2.直线与圆锥曲线相交问题

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