在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆C:=1(a>b≥1)的离心率e=,且椭圆C上的点到点Q (0,3)的距离最大值为4,过点M(3,0)的直线交椭圆C于点A、B.
(1)求椭圆C的方程。
(2)设P为椭圆上一点,且满足(O为坐标原点),当|AB|<时,求实数t的取值范围.
(1) ;(2) 或
解析试题分析:(1)此问主要考察椭圆与双曲线的性质,椭圆的离心率与双曲线的性质相等,则,利用直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径,解出,然后利用,解出,得到方程;
(2)典型的直线与圆锥曲线相交问题,首先方程联立,写出根与系数的关系,代入向量相等的坐标表示,得出点坐标,利用点在椭圆上,代入方程,然后利用,利用弦长公式,得到的范围,与之前得到的与的关系式,求出的范围.
试题解析:(1)∵ ∴ 1分
则椭圆方程为即?设则
,当时,
有最大值为? 解得?∴,椭圆方程是 5分
(2)设?方程为?
由?整理得.
由,解得.
, 7分
∴ 则,
, 由点P在椭圆上,代入椭圆方程得
① 9分
又由,即,
将,,代入得则,
, ∴② 11分,
由①,得.联立②,解得
∴或 13分
考点:1.圆锥曲线的性质;2.直线与圆锥曲线相交问题
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线方程为,过点作直线与抛物线交于两点,,过分别作抛物线的切线,两切线的交点为.
(1)求的值;
(2)求点的纵坐标;
(3)求△面积的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
直线y=kx+b与曲线交于A、B两点,记△AOB的面积为S(O是坐标原点).
(1)求曲线的离心率;
(2)求在k=0,0<b<1的条件下,S的最大值;
(3)当|AB|=2,S=1时,求直线AB的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,曲线的参数方程为(为参数,).
(1)写出直线的直角坐标方程;
(2)求直线与曲线的交点的直角坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知点C(1,0),点A、B是⊙O:x2+y2=9上任意两个不同的点,且满足·=0,设P为弦AB的中点.
(1)求点P的轨迹T的方程;
(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点:它到直线x=-1的距离恰好等于到点C的距离?若存在,求出这样的点的坐标;若不存在,说明理由.
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