Question

3．如图，已知正四棱锥V-ABCD中，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高，若AC=6cm，VC=5cm．
（1）求正四棱锥V-ABCD的体积；
（2）求直线VD与底面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理计算棱锥的高VM，代入棱锥的体积公式计算；
（2）∠VDM是直线VD与底面ABCD所成角，在Rt△VDM中计算sin∠VDM．

解答 解：（1）∵正四棱锥V-ABCD中，ABCD是正方形，
∴MC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BD=3（cm）．
且S_{正方形ABCD}=$\frac{1}{2}$AC×BD=18（cm²）．
Rt△VMC中，VM=$\sqrt{V{C}^{2}-C{M}^{2}}$=4（cm）．
∴正四棱锥的体积为V=$\frac{1}{3}{S}_{正方形ABCD}•VM$=$\frac{1}{3}×18×4=24$（cm³）．
（2）∵VM⊥平面ABCD，∴∠VDM是直线VD与底面ABCD所成角，
∵VD=VC=5，
在RT△VDM中，sin∠VDM=$\frac{VM}{VD}=\frac{4}{5}$．
所以直线VD与底面ABCD所成角的正弦值为$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了棱锥的体积计算，线面角的计算，属于中档题．