Question

已知函数f（x）=[2sin（x+

π

3

）+sinx]cosx-

3

sin²x．
（1）若函数y=f（x）的图象关于直线x=a（a＞0）对称，求a的最小值；
（2）若函数y=mf（x）-2在x∈[0，

5π

12

]存在零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由条件利用三角函数的恒等变换求得f（x）=2sin（2x+

π

3

），由函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称，可得2a+

π

3

=kπ+

π

2

 k∈z，由此求得a的最小正值．
（2）设x₀∈[0，

5π

12

]，由mf（x₀）-2=0，可得 m=

1

sin(2x0+ π 3 )

，再利用正弦函数的定义域和值域求得sin（2x₀+

π

3

）的范围，可得m的范围．

解答： 解：（1）函数f（x）=[2sin（x+

π

3

）+sinx]cosx-

3

sin²x=2sinxcosx+

3

cos²x-

3

sin²x=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

）．
又因为函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称，
所以2a+

π

3

=kπ+

π

2

 k∈z，即a=

kπ

2

+

π

12

．
又因为a＞0，所以a的最小值为

π

12

．
（2）设x₀∈[0，

5π

12

]，满足mf（x₀）-2=0，可得 m=

2

f(x0)

=

1

sin(2x0+ π 3 )

，
∵

π

3

≤2x₀+

π

3

≤

7π

6

，∴-

1

2

≤sin（2x₀+

π

3

）≤1，
∴m∈（-∞，-2]∪[1，+∞）．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．