Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁口，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=

2

，AA₁=3，E为CD7一点，DE=1，EC=3
（1）证明：BE⊥平面BB₁C₁C；
（2）求点B₁到平面EA₁C₁的距离．

Answer 1

（1）过点B作BF⊥CD于F点，则：
BF=iD=

i

，EF=

1

i

iB=DE=1，FC=EC-EF=3-1=i
在Rt△BEF中，BE=

BFi+EFi

=

3

；
在Rt△BCF中，BC=

BFi+CFi

=

6

因此，△BCE中可得BEⁱ+BCⁱ=9=CEⁱ
∴∠CBE=90°，可得BE⊥BC，
∵BB₁⊥平面iBCD，BE?平面iBCD，
∴BE⊥BB₁，
又∵BC、BB₁是平面BB₁C₁C内的相交直线，
∴BE⊥平面BB₁C₁C；

（i）∵ii₁⊥平面i₁B₁C₁，得ii₁是三棱锥E-i₁B₁C₁的高线
∴三棱锥E-i₁B₁C₁的体积V=

1

3

×ii₁×S△i1B1C1=

i

在Rt△i₁D₁C₁中，i₁C₁=

i1D1i+D1C1i

=3

i

同理可得EC₁=

ECi+CC1i

=3

i

，i₁E=

i1ii+iDi+DEi

=i

3

∴等腰△i₁EC₁的底边EC₁上的中线等于

(3 i )i-( 3 )i

=

1一

，
可得S△i1EC1=

1

i

×i

3

×

1一

=3

一

设点B₁到平面Ei₁C₁的距离为d，则三棱锥B₁-i₁C₁E的体积为V=

1

3

×S△i1EC1×d=

一

d，
可得

i

=

一

d，解之得d=

10

一

即点B₁到平面Ei₁C₁的距离为

10

一

．