Question

17．设函数g（x）=x²-2x+1+mlnx，（m∈R）．
（1）当m=1时，求函数y=g（x）在点（1，0）处的切线方程；
（2）当m=-12时，求f（x）的极小值；
（3）若函数y=g（x）在x∈（$\frac{1}{4}$，+∞）上的两个不同的数a，b（a＜b）处取得极值，记{x}表示大于x的最小整数，求{g（a）}-{g（b）}的值（ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．

Answer 1

分析 （1）把m=1代入函数解析式，求得导函数，得到切线的斜率，则切线方程可求；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值即可；
（3）根据函数的单调性得到函数y=g（x）在x∈（$\frac{1}{4}$，+∞）上有两个极值点的m的范围，由a，b为方程2x²-2x+m=0的两相异正根，及根与系数关系，得到a，b的范围，把m用a（或b）表示，得到g（a）（或g（b）），求导得到g（b）的取值范围，进一步求得{g（a）}（或{g（b）}），则答案可求．

解答 解：（1）函数y=g（x）=x²-2x+1+mlnx，g′（x）=2x-2+$\frac{1}{x}$，k=g′（1）=1，
则切线方程为y=x-1，
故所求切线方程为x-y-1=0；
（2）m=-12时，g（x）=）=x²-2x+1-12lnx，（x＞0），
g′（x）=2x-2-$\frac{12}{x}$=$\frac{2（x-3）（x+2）}{x}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞3，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜3，
故g（x）在（0，3）递减，在（3，+∞）递增，
故g（x）_极小值=g（3）=4-12ln3；
（3）函数y=g（x）的定义域为（0，+∞），
g′（x）=2x-2+$\frac{m}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-2x+m}{x}$，
令g′（x）=0并结合定义域得2x²-2x+m＞0．
①当△≤0，即m≥$\frac{1}{2}$时，g′（x）≥0，则函数g（x）的增区间为（0，+∞）；
②当△＞0且m＞0，即0＜m＜$\frac{1}{2}$时，函数g（x）的增区间为（0，$\frac{1-\sqrt{1-2m}}{2}$），（ $\frac{1+\sqrt{1-2m}}{2}$，+∞）；
③当△＞0且m≤0，即m≤0时，函数g（x）的增区间为（ $\frac{1+\sqrt{1-2m}}{2}$，+∞）；
故得0＜m＜$\frac{1}{2}$时，a，b为方程2x²-2x+m=0的两相异正根，$\frac{1}{2}$＜b＜$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{4}$＜a＜$\frac{1}{2}$，
又由2b²-2b+m=0，得m=-2b²+2b，
∴g（b）=b²-2b+1+mlnb=b²-2b+1+（-2b²+2b）lnb，b∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$），
g′（b）=2b-2+（-4b+2）lnb+2-2b=-4（b-$\frac{1}{2}$）lnb，
当b∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）时，g′（b）＞0，即函数g（b）是（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）上的增函数．
故g（b）的取值范围是（ $\frac{1-2ln2}{4}$，$\frac{1-6ln\frac{4}{3}}{16}$），则{g（b）}=0．
同理可求得g（a）的取值范围是（ $\frac{1-2ln2}{4}$，$\frac{9-12ln2}{16}$），则{g（a）}=0或{g（a）}=1．
∴{g（a）}-{g（b）}=0或1．

点评 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了方程根个数的判断，体现了数学转化思想方法，考查了计算能力，是压轴题．