Question

16．已知函数f（x）=x²-bx+c，若f（-1）=f（3）且f（0）=3．
（1）求b、c的值；
（2）若函数g（x）是定义在R上的奇函数，且满足当x＞0时，g（x）=f（x），试求g（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）将f（-1）=f（3），f（0）=3，建立等式关系求解b，c即可．
（2）函数g（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，g（x）=f（x），当x＜0时，-x＞0，利用奇函数性质求解函数的解析式即可．

解答 解：（1）由题意，∵f（0）=3，
∴c=3，
∵f（-1）=f（3）
∴可得x=1为图象的对称轴，即：$-\frac{b}{2a}=\frac{b}{2}=1$，
∴b=2，
故得f（x）=x²-2x+3．
（2）由（1）可得f（x）=x²-2x+3，
当x＞0时，g（x）=f（x）=x²-2x+3，
当x＜0时，则-x＞0，
那么：g（-x）=x²+2x+3，
∵g（x）是定义在R上的奇函数，
当x=0时，g（0）=0，
∴g（-x）=-g（x），
∴g（-x）=x²+2x+3=-g（x），
可得：g（x）=-x²-2x-3，
故得函数的解析式f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+3，（x＞0）}\\{0，（x=0）}\\{-{x}^{2}-2x-3，（x＜0）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了函数的带值计算和分段函数的解析式的求法．属于基础题．